话说哥德巴赫猜想的直接证明

[摘  要] 19世纪20年代以来，人们一般都采取迂回战术求证着哥德巴赫猜想。本文反其道而行之，经过8个命题的构建，以（4V+8）（V≥0）的偶数为支撑，抓住偶数与质数的微妙关联，分三个层次阐述了哥德巴赫猜想成立的内在缘由，直接且简便地证明了哥德巴赫猜想。
[关键词] 哥德巴赫猜想  证明 
哥德巴赫猜想，是指“是不是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”的问题。如果用N表示大于2的任意偶数，P₁、P₂表示两个质数，哥德巴赫猜想的表达式则是N= P₁+ P₂。
哥德巴赫猜想是笔者近几年来朝思暮想的一个数学问题，在多层面、持续、深入的探索中，尝试了其直接证明方法。下面，说说哥德巴赫猜想直接证明的过程。
命题1：末位数字是0的偶数，只有10才能够表示为质数2与另一个质数的积。
这是很显然的，因为10=2×5，即是说10能够表示为2与5这两个质数的积，而末位数字是0的其它偶数诸如20、30、40……等都含有3个或3个以上的质因数，因而末位数字是0的偶数，只有10才能够表示为质数2与另一个质数的积。
命题2：末位数字是2数值为（22+20n）（n≥0）的偶数，如果它不含有质数3、7、11等，那么这个偶数一定能够表示为质数2与另一个质数的积。
证明：因为（22+20n）是末位数字为2的偶数，所以
（22+20n）=2×（11+10n）
由上式可知，若（22+20n）不含有质数3、7、11等，则（11+10n）一定是一个质数，故（22+20n）能够表示为质数2与另一个质数的积。
命题3：末位数字是4数值为（14+20n）（n≥0）的偶数，如果它不含有质数3、7、11等，那么这个偶数一定能够表示为质数2与另一个质数的积。
证明：因为（14+20n）是末位数字为2的偶数，所以
（14+20n）=2×（7+10n）
由上式可知，若（14+20n）不含有质数3、7、11等，则（7+10n）一定是一个质数，故（14+20n）能够表示为质数2与另一个质数的积。
4=2×2，它是一个特例。
命题4：末位数字是6数值为（6+20n）（n≥0）的偶数，如果它不含有质数3、7、11等，那么这个偶数一定能够表示为质数2与另一个质数的积。
证明：因为（6+20n）是末位数字为6的偶数，所以
（6+20n）=2×（3+10n）
由上式可知，若（6+20n）不含有质数3、7、11等，则（3+10n）一定是一个质数，故（6+20n）能够表示为质数2与另一个质数的积。
命题5：末位数字是8数值为（38+20n）（n≥0）的偶数，如果它不含有质数3、7、11等，那么这个偶数一定能够表示为质数2与另一个质数的积。
证明：因为（38+20n）是末位数字为8的偶数，所以
（38+20n）=2×（19+10n）
由上式可知，若（38+20n）不含有质数3、7、11等，则（19+10n）一定是一个质数，故（38+20n）能够表示为质数2与另一个质数的积。
命题2~命题5四个命题，如果用具体例子去说明就会显得更直白。例如358满足（38+20n）的题设，且它不含有质数3、7、11等，因而358=2×179，即是说358能够表示为质数2与179的积。而378也能满足（38+20n）的题设，但它却含有质因数3，因而378=2×189表示的就不是两个质数的积。
如上5个命题，揭示了偶数与质数的关系。根据这些关系，可以将符合题设条件的偶数的相关质数直接找出来，如1646这个数除以2后的商823就是一个质数。
命题6：任意（4V+8）（V≥0）的偶数，可以表示为只含有公因数2且大小不同的两个较小偶数（2除外）的和，或表示为只含有公因数2且大小一样的两个较小偶数的和。
请看下面（4V+8）（V≥0）的偶数表示为只含有公因数2的两个较小偶数的和的事例。
末位数字是0的：20=6+14=10+10、40=6+34=26+14、60=26+34=46+14、80=6+74=46+34、100=6+94=26+74=86+14、120=26+94=46+74=86+34、140 = 6 + 134 = 46+94=106+34、160=26+134=86+74=146+14、180=46+134=86+94=106+74、200=6+194=106+94=166+34、220=6+214=26+194=86+134=146+74。
末位数字是2的：12=6+6、32=6+26=10+22、52=6+46=26+26、72=26+46=10+62、92=6+86=46+46=10+82、112=6+106=26+86、132 = 26 + 106 = 46+86=10+122、152=6+146=46+106=10+142、172=6+166=26+146=86+86、192=26+166=46+146=86+106、212=6+206=46+166=106+106=10+202。
末位数字是4的：24=10+14、44=6+38=10+34、64=6+58=26+38、84=6+78=26+58=10+74、104=26+78=46+58=10+94、124=6+118=46+78=86+38、144=26+118=86+58=10+134、164=6+158=46+118=86+78、184 = 6 + 178 = 26 + 158 =106+78=146+38、204=26+178=46+158=86+118=146+58=10+194。
末位数字是6的：16=10+6、36=22+14=10+26、56=22+34=10+46、76=62+14=38+38、96=22+74=62+34=10+86、116=22+94=10+106=58+58、136=62+74＝122+14、156=22+134=62+94=10+146、176=82+94=10+166＝142+34、196=122+74=62+134=82+114、216=82+134=122+94=142+74=10+206。
末位数字是8的：8=4+4、28=6+22=14+14、48=26+22=14+34、68=6+62=46+22、88=6+82=26+62=14+74、108=26+82=46+62=14+94、128=6+122=46+82=34+94、148=6+142=26+122=74+74、168=26+142=46+122、188=46+142=106+82=94+94、208=6+202=86+122=146+62。
由上述例子可以看出：（1）将（4V+8）（V≥0）的偶数表示为两个较小偶数和的问题其实是关于一个数分解为两个数的和的组合问题，因而在两个加数的恒等变换下符合题设条件的组合常常有多个。（2）任意（4V+8）（V≥0）偶数末位是0时，用和表示它的两个较小偶数的末位数字分别是4、6；末位是2时，两个较小偶数的末位数字一般都是6；末位是4时，两个较小偶数末位数字分别是6、8；末位是6时，两个较小偶数末位数字分别是2、4；末位是8时，两个较小偶数末位数字分别是2、6。（3）用和的方式表示任意（4V+8）（V≥0）的偶数的两个较小偶数，分别是根据命题1~命题5中的题设而确定的，即是说要使两个较小的偶数分别能够表示为2与另一个质数的积。这样，可以断言命题6是成立的，那么怎样说明它具有一般性呢？
证明：因为任意的（4V+8）（n≥0）总是偶数，所以
（4V+8）=（2V+4）+（2V+4）=2×（V+2）+2×（V+2） ………①
或（4V+8）=（4V+2）+6=2×（2V+1）+（2×3）        ………②
显然，①式表明（4V+8）（n≥0）的偶数可以表示为只含有公因数2且大小一样的两个较小偶数的和。由②式可知，任意（4V+8）的偶数可以表示为只含有公因数2且大小不同的两个较小偶数（2除外）的和。
证明哥德巴赫猜想成立的关键就在于能否将任意（4V+8）（n≥0）的偶数都表示为只含有公因数2的两个较小偶数的和，命题6彰显着哥德巴赫猜想成立的必然性。
命题7：（4V+8）（v≥0）的偶数，都可以表示为任意两个质数的和的2倍。
已知：偶数（4V+8），质数P₁、P₂
求证：（4V+8）=2×（ P₁+ P₂ ）
证明：视P₁、P₂ 是任意两个质数，因为满足命题6题设的大于2的任意偶数都是某个相应质数的2倍，所以2 P₁、2P₂ 一定分别都是偶数。
令n₁ = 2 P₁，n₂ =2P₂ ，则n₁ + n₂ = 2 P₁+2P₂  =2×（ P₁+ P₂ ），故n₁ 、 n₂只有公因数2 。
在2×（ P₁+ P₂ ）中，当P₁、P₂同为奇质数或同为偶质数时，（ P₁+ P₂ ）一定是一个偶数，其值可以用（2V+4）（v≥0）表示，所以n₁ + n₂  = 2 P₁+2P₂  =2×（ P₁+ P₂ ）=2×（2V+4）=4V+8，也就是4V+8=2×（ P₁+ P₂ ）。
于是说：（4V+8）（v≥0）的偶数，都可以表示为任意两个质数的和的2倍。
命题7可以看成是命题6的推论，它为命题8的证明铺就了一条便道。
命题8：（2V+4）（v≥0）的偶数，都可以表示为两个质数的和。
已知：偶数（2V+4），质数P₁、P₂
求证：2V+4 = P₁+P₂
证明：由命题7有：（ 4V+8）= 2×（P₁+P₂）
即2×（2V+4）= 2×（ P₁+ P₂ ）
根据等式性质得：2V+4= P₁+P₂
由于（2V+4）求出的每相邻间的两个偶数总是相差2，因而可以推知，当（2V+4）中的V依次取值为0、1、2、3……m时，则（2V+4）的值一定会依次是4、6、8、10……等所有的偶数，且这些偶数又都可以表示为两个质数的和，所以N=P₁+P₂
这样看来，哥德巴赫猜想其实就是命题8的一种较为抽象的表述。
 
[参考文献]
义务教育课程标准实验教科书人教版《数学》五年级下册。


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