终端数字和及其数学意义（续）

【摘要】本文经过对非3奇合数的深入分析，简述了他们的同根等价性规律，并根据这个规律及各数族所有自然数各自数位的确定性、唯一性特征分别建构起非3奇合数、质数周期系数表达式，进而提出由周期系数区分合、质数的数学意义。

【关键词】周期    系数    意义

一、对终端数字和的再认识

概括地说，终端数字和还有如下一些属性：

1.终端数字和是0除外所有自然数的一种共性，它的大小与自然数的大小无关。

例如，31、103、2137、8419等四个数的大小不等，但他们的终端数字和却都是4.

2.一个自然数末尾、中间添上或去掉若干个零，他的终端数字和不变。

例如，47添上零变为470、40070，其终端数字和依然如故。

3.一个多位数交换各数位上数字的位置，他的终端数字和不变。

例如，563交换数位上数字后的536、653、356、365等数的终端数字和与563的终端数字和“5”一样大。

4.每个数族里终端数字和分别为3、6、9的自然数，都含有因数3；1、3、7、9氏数族里终端数字和为1、2、4、5、7、8的自然数都是非3奇数，他们分别既有合数又有质数。

5.任意终端数字和的自然数与终端数字和为9的自然数相加，和的终端数字和一定等于这个任意终端数字和的自然数的终端数字和。

例如，47的终端数字和为2,47分别与9、27、603、450、891、1746等终端数字和为9的数相加，其和的终端数字和总是为2。

同样地，任意终端数字和的自然数与终端数字和为9的自然数相乘，积的终端数字和一定等于这个任意终端数字和的自然数的终端数字和。

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼

1 11 21 31 41 51 61 71 81

91 101 111 121 131 141 151 161 171

……

⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑴ ⑵

3 13 23 33 43 53 63 73 83

93 103 113 123 133 143 153 163 173

……

⑺ ⑻ ⑼ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹

7 17 27 37 47 57 67 77 87

97 107 117 127 137 147 157 167 177

……

 

⑼ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻

9 19 29 39 49 59 69 79 89

99 109 119 129 139 149 159 169 179

……

6.每个数族里的自然数（0除外），分别是依照一定的9个终端数字和顺序格局而轮回循环渐进的。请看下面的用终端数字和描绘的1、3、7、9氏数族系列自然数数谱（括号里的数表示终端数字和）：

 

 

如果将以上数列扩展开来，能更清晰地显示出他们总是以每9个数为一个轮回的格局，这样的轮回称为数族周期。不分数族的自然数按照1、2、3、4、5……9的顺序依次排列起来的系列数也是以终端数字和为标准每9个数一个轮回的，这种轮回称为自然数周期。这样的性质称为周期性，周期性是自然数的一个显著特征。

7、各数族终端数字和相等的自然数，他们的数序码的终端数字和也一定相等。

这是很容易推导出来的，如1氏数族里终端数字和同为“5”的221、2021、3551、1751、6431、11921等数，当其都去掉数族号“1”后,则其数序码的终端数字和是5-1=4。

二、非3奇合数周期系数表达式

由分别数脉的奇合数生成数表容易看到，每个数表都是由三部分构成的：A因数系列、B因数系列、奇合数（积）系列。这些奇合数系列又是由诸多数系不同的横支线数列、纵支线数列共构的。如“1氏数族奇合数生成状况简明表（一）”中的奇合数既有91、221、351、481、611、741、871、1001、1131……与161、391、621、851、1081、1311、1541、1771、2001……等横支线数列，又有21、91、161、231、301、371、441、511、581……与51、221、391、561、731、901、1071、1241、1411……等纵支线数列。这些支线数列有的全是含有因数3的数，有的则是非3奇合数与含有因数3的数的混合体。在本文研究中，着力关注的是非3奇合数。

每个奇合数生成数表中的前6个非3A因数、前6个非3B因数分别称为基本A因数、基本B因数，如数表（一）即①号数脉中的13、23、43、53、73、83等6个数都是基本A因数，7、17、37、47、67、77等都是基本B因数。每个基本A因数与各个基本B因数分别相乘的积叫做基本奇合数。同一数脉里，与基本A因数、基本B因数的终端数字和相等的其他A因数、B因数分别叫做某个基本A因数、基本B因数的等价因数。某个基本 A、B因数的等价因数有无穷个，如103、193、283、373……等都是基本A因数13的等价因数。

同一数脉里，某个非3A因数与若干个等价非3B因数分别相乘得到的数称为某个横支线数列的同根等价非3奇合数；某个非3B因数与若干个等价非3A因数分别相乘得到的数称为某个纵支线数列的同根等价非3奇合数。如91、1261、2431、3601、4771、5941、7111等就是①号数脉里A因数13分别与7个等价B因数分别相乘得到的同根等价非3奇合数。用同根等价非3奇合数标准来丈量每个奇合数生成数表中的任意非3奇合数，能够发现：各数脉的非3奇合数其实就是由各个横、纵支线数列中终端数字和分别为1、2、4、5、7、8的6类同根等价非3奇合数的有序构建。进一步地说，同根等价性是非3奇合数的共性。

表示非3奇合数，一般是用两个相应因数相乘的式子去表达，如559=13×43。还有不有别的做法呢？人们容易理解到，数族下的所有自然数的数位都是确定的、唯一的，总会处在相应额定周期的确切位置上。据此，笔者尝试了周期系数表达式表示法，其具体过程是：（1）将各数族中最小的非3奇数且终端数字和分别为1、2、4、5、7、8的6个数确定为对照数，具体是：1氏数族中的11、31、41、61、71、91,3氏数族中的13、23、43、53、73、83,7氏数族中的7、17、37、47、67、77,9氏数族中的19、29、49、59、79、89等分别是不同数族的对照数。（2）根据所表示的非3奇合数的数族，终端数字和选取对应的对照数做非3奇合数周期系数表达式的前一个加数。（3）把所表示的非3奇合数与对照数的差写成周期系数的形式并作为周期系数表达式的后一个加数。下面，是3氏数族中一些非3奇合数用周期系数表达式表示的例子：

253=73+2×90 533=83+5×90 553=13+6×90

1333=73+14×90 3233=83+35×90 2263=13+25×90

2773=73+30×90 7553=83+83×90 7663=13+85×90

203=23+2×90 133=43+1×90 143=53+1×90

2093=23+23×90 2923=43+32×90 1943=53+21×90

3713=23+41×90 4543=43+50×90 3293=53+36×90

非3奇合数周期系数基本计算公式的后一个加数是两个因数相乘，其中第一个因数称为周期系数，第二个因数则是周期率。用非3奇合数的周期系数表达式去表示非3奇合数，能够使其周期系数彰显出来，进而将判别非3奇合数的方法变换为周期系数判别法，于是笔者归纳整理了下面的非3奇合数周期系数基本计算公式用表。值得注意的是，表中列举的代数式只是计算各数脉基本A因数下的横支线数列中非3奇合数的周期系数的，而其他A因数下的横支线数列的非3奇合数周期系数计算式则要根据非3奇合数的同根等价规律另行求取。再进一步，还可以将各数脉具体的非3奇合数周期系数计算公式抽象、概括成计算通式。

非3奇合数周期系数基本计算公式用表

1 2 4 5 7 8

1氏 ①号 0+13n

11+23n

31+43n

9+53n

29+73n

70+83n 11+13n

17+23n

8+43n

4+53n

38+73n

34+83n 5+13n

4+23n

3+43n

45+53n

54+73n

43+83n 2+13n

9+23n

22+43n

39+53n

62+73n

6+83n 9+13n

19+23n

17+43n

27+53n

5+73n

15+83n 6+13n

1+23n

36+43n

21+53n

13+73n

61+83n

②号 3+19n

18+29n

42+49n

18+59n

42+79n

87+89n 6+19n

6+29n

32+49n

32+59n

78+79n

78+89n 10+19n

9+29n

10+49n

58+59n

69+79n

58+89n 12+19n

25+29n

48+49n

12+59n

25+79n

48+89n 16+19n

28+29n

26+49n

38+59n

16+79n

28+89n 18+19n

15+29n

15+49n

51+59n

51+79n

18+89n

③号 4+11n

20+31n

4+41n

20+61n

55+71n

91+91n 11+11n

14+31n

14+41n

48+61n

48+71n

11+91n 1+11n

31+31n

32+41n

41+61n

32+71n

31+91n 7+11n

24+31n

41+41n

7+61n

24+71n

41+91n 8+11n

10+31n

18+41n

61+61n

8+71n

61+91n 3+11n

3+31n

27+41n

27+61n

71+71n

71+91n

3氏 ④号 2+11n

14+31n

37+41n

8+61n

41+71n

73+91n 8+11n

7+31n

5+41n

35+61n

33+71n

83+91n 10+11n

25+31n

24+41n

29+61n

18+71n

13+91n 5+11n

18+31n

33+41n

56+61n

10+71n

23+91n 6+11n

4+31n

10+41n

49+61n

65+71n

43+91n 1+11n

28+31n

19+41n

15+61n

57+71n

53+91n

⑤号 3+7n

16+17n

7+37n

30+47n

58+67n

24+77n 6+7n

14+17n

11+37n

9+47n

43+67n

41+77n 6+7n

11+17n

20+37n

15+47n

14+67n

76+77n 2+7n

9+17n

24+37n

41+47n

66+67n

16+77n 1+7n

5+17n

32+37n

46+47n

36+67n

50+77n 4+7n

3+17n

36+37n

25+47n

21+67n

67+77n

7氏 ⑥号 11+13n

7+23n

23+43n

52+53n

15+73n

54+83n 8+13n

12+23n

42+43n

46+53n

23+73n

17+83n 2+13n

22+23n

37+43n

34+53n

39+73n

26+83n 12+13n

4+23n

13+43n

28+53n

47+73n

72+83n 7+13n

15+23n

9+43n

17+53n

64+73n

82+83n 4+13n

20+23n

28+43n

11+53n

72+73n

45+83n

⑦号 9+11n

2+31n

21+41n

45+61n

13+71n

37+91n 4+11n

26+31n

30+41n

11+61n

5+71n

47+91n 5+11n

12+31n

7+41n

4+61n

60+71n

67+91 0+11n

5+31n

16+41n

31+61n

52+71n

77+91n 2+11n

23+31n

35+41n

25+61n

37+71n

7+91n 8+11n

16+31n

3+41n

52+61n

29+71n

17+91n

9氏 ⑧号 6+13n

21+23n

6+43n

31+53n

59+73n

21+83n 3+13n

3+23n

25+43n

25+53n

67+73n

67+83n 10+13n

13+23n

20+43n

13+53n

10+73n

76+83n 7+13n

18+23n

39+43n

7+53n

18+73n

39+83n 1+13n

5+23n

34+43n

48+53n

34+73n

48+83n 11+13n

10+23n

10+43n

42+53n

42+73n

11+83n

⑨号 5+7n

3+17n

15+37n

40+47n

5+67n

40+77n 1+7n

1+17n

19+37n

19+47n

57+67n

57+77n 0+7n

14+17n

27+37n

24+47n

27+67n

14+77n 3+7n

12+17n

31+37n

3+47n

12+67n

31+77n 2+7n

8+17n

2+37n

8+47n

49+67n

65+77n 5+7n

6+17n

6+37n

34+47n

34+67n

5+77n

⑩号 7+11n

27+31n

13+41n

33+61n

70+71n

19+91n 2+11n

20+31n

22+41n

60+61n

62+71n

29+91n 3+11n

6+31n

40+41n

53+61n

46+71n

49+91n 9+11n

30+31n

8+41n

19+61n

38+71n

59+91n 10+11n

16+31n

26+41n

12+61n

22+71n

79+91n 5+11n

9+31n

35+41n

39+61n

14+71n

89+91n

 

三、质数周期系数表达式

照着非3奇合数周期系数表达式的样子，并且分别用相应的对照数做第一个加数，也可以将质数用周期系数表达式表示出来，如：

73=73+0×90 83=83+0×90 13=13+0×90

163=73+1×90 173=83+1×90 103=13+1×90

433=73+4×90 263=83+2×90 193=13+2×90

523=73+5×90 353=83+3×90 283=13+3×90

23=23+0×90 43=43+0×90 53=53+0×90

113=23+1×90 223=43+2×90 233=53+2×90

293=23+3×90 313=43+3×90 503=53+5×90

383=23+4×90 673=43+7×90 593=53+6×90

这些3氏数族质数的周期系数表达式中的周期系数是不会与3氏数族非3奇合数的周期系数表达式中的周期系数雷同的，这是因为不等量减等量等于不等量的缘故。概括地说，1、3、7、9氏族里的任意非3奇合数、质数用周期系数表达式表示的周期系数都是唯一的。

于是乎，人们可以由非3奇合数周期系数表达式或质数周期系数表达式去判别某个数是合数还是质数。如果由非3奇合数周期系数计算公式计算出较大数域的非3奇合数周期系数并编写非3奇合数周期系数数表，就可以较快的将具体质数辨析出来。比如从这样的数表中获知“1383”是1氏族中终端数字和为1的质数周期系数，那么“1383”经过还原得：1383×90+91=124561，随即认定124561是质数。显然，由看被判别数是否含有某些质数去判断合、质数的方法变换成看周期系数的做法，能够化大数为小数，使判别过程简便些。再进一步，如果将由非3奇合数周期系数计算公式求取的某类终端数字和的周期系数再按这些周期系数的终端数字和细化为终端数字和分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9等的9类计算周期系数的代数式，则更能使判别合、质数的过程变得简约。

建构非3奇合数周期系数表达式和质数周期系数表达式的另一个意义，就是有利于凭借他们所表示的周期系数直接地将一个偶数表示为两个质数的和，为进一步探索哥德巴赫猜想打下基础。


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