基于自由设站的三维控制网的平差计算方法研究

随着我国城市轨道交通事业的蓬勃发展，地下线路工程的精密测量也日益备受重视。由于地下线路具有线路狭长、通视条件太差等诸多不便，这给我们的测量工作带来了极大地困难和挑战，也使如何更好地、高效地布设地下工程控制网成为了当前很多学者研究的热点课题。地面三维激光扫描测量技术的发展和无碴轨道CPⅢ的不断成熟，使得基于自由设站法的三维激光扫描测量技术应用于布设地下线路的三维控制网中，这不仅降低了人工对中和精确整平、仪器高量取、仪器照准等误差，而且有利于通过网中较多的观测值来发现测量中粗差的存在对测量平差结果的影响。
 
1地面三维激光扫描测量技术
三维激光扫描测量技术是利用激光作为光源，采用非接触主动测量方式按照一定的分辨率对物体表面进行扫描，利用某种与物体表面发生相互作用的物理现象来获取其表面三维信息。原理是利用激光探测技术获取被测物体至仪器中心的距离S，由精密时钟控制编码器同步测量每个激光脉冲横向扫描角度观测值α和纵向扫描角度观测值θ，则被测点的三维坐标可由空间三维几何关系利用一个线元素和两个角元素计算空间点的三维坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ，空间点的计算模型（见图1）。
 
图1球坐标系统
 
2 三维控制网的布设方案
三维控制网的平差计算是以三维点坐标为观测值进行平差计算，通过选权迭代法对含有粗差的观测值分配较小的权值，进而降低粗差对平差结果的影响。三维控制网一般是采用间接平差法或是附有限制条件的间接平差法，其参数是三个平移变量、三个旋转变量、一个尺度因子。下图圆中三角符号代表已知点；圆形符号代表示观测点，S₁……S₆代表仪器架设位置（见图2）。
 
图2三维控制网网型布设图
 
3 整体平差方法的研究
常见三维平差软件是利用坐标转换的思想将标靶点的坐标统一到某一的坐标系统下。平差处理的仅仅是相邻两站间的数据，没有对数据进行整体平差，不能很好的限制误差的积累，给平差结果带来了一定的影响。整体平差就是将控制网闭合或者附和起来，控制网中所有观测值同时参与计算，进行整体平差的过程。
3.1、数学模型的建立
本文采用的平差方法为附有限制条件的间接平差。其函数模型和数学模型为：

其中系数矩阵B 为：



限制条件有三部分构成：
（1） 由于旋转矩阵为正交阵，即每行（每列）元素的平方和为1，两行（列）间元素的互乘积为0，可知：

（2） 由于起算基准和闭合基准为同一个坐标系，可知：

（3） 由于起算基准和闭合基准是一个坐标系统，所以坐标转换矩阵乘积为单位矩阵。
3.2三维控制网的点位精度
利用平差后的改正数、未知参数的协因素等信息评定控制网的点位精度。
单位权中误差计算公式为：

上式中V^TPV是改正数的加权平方和、n为观测值的个数、t为未知数的个数、r为多余观测数，理论上平差后计算的σ₀与验前估算的单位权中误差在数值上接近。
观测值的平差值函数式：
观测值的平差的值权函数式：

观测值的平差值函数的协因数：
观测值的平差值函数的中误差：
待定点的在X、Y、Z坐标轴上的坐标中误差可得：
、、
其点位中误差：               
4 三维控制网的网型实验
（1）实验1
实验采用闭合的三维控制网进行，共有10站数据，棱镜分布在均匀对称的分布在仪器的两侧，相邻两测站有至少四个公共点，相邻两站的距离约为40m，用上述的整体平差方法计算得首末两站公共点的坐标差，结果如下表1所示：
数据结果表1

点名	X	Y	Z
S01	0.003424	-0.00115	-0.0048
S02	0.003484	-0.00098	-0.00516
S03	0.003203	-0.00096	-0.00536
S04	0.003364	-0.00085	-0.00572

（2）实验2
实验采用闭合的三维控制网进行，共有10站数据，棱镜分布在均匀对称的分布在仪器的两侧，相邻两测站有至少四个公共点，相邻两站的距离约为20m，用上述的整体平差方法计算得首末两站公共点的坐标差，结果如下表2所示：
数据结果表2

点名	X	Y	Z
S01	-0.00265	-0.00094	0.001135
S02	-0.00368	-0.00078	0.001464
S03	-0.00275	-0.00046	0.001235
S04	-0.00264	-0.00147	0.000756

（3）实验3
实验同样采用闭合的三维控制网进行，共有10站数据，棱镜分布在均匀对称的分布在仪器的两侧，相邻两测量有至少四个公共点，相邻两站的距离约为20m，利用Cyclone对观测数据进行计算得首末两站公共点的坐标差，结果如下表3所示：
数据结果表3

点名	X	Y	Z
S01	-0.00278	0.03387	-0.02024
S02	-0.00622	0.04052	-0.02296
S03	0.00803	0.03725	-0.02093
S04	0.00664	0.02147	-0.03756

实验表明：（1）未经过整体平差的数据由于误差的积累控制点的闭合差较大，而经过整体平差方法的控制点闭合差较小，说明整体平差限制了误差的积累，起到了平均分配由观测值引起的误差。（2）距离越远，点位误差越大；反之距离越近，点位误差越小。另外需要注意的控制点的选取不能在一条直线上，否则会使产生无解。
5 结论和展望
三维控制网的整体平差方法，实质是将参与平差计算的所有观测时的误差做了最小二乘的分配，保证了观测值误差的合理分布，它不仅具有二维网和一维网分别平差所无法拥有的优点外，而且随着测量仪器的不断更新和发展，它的应用领域越来越广泛，而且可操作性也越来越强。目前，线路工程，尤其是地下线路如地铁、隧道的大力发展，使得研究三维控制网平差取代传统的平差方法有着必要性和必然性。本文研究的三维控制网的布网思想和平差方法可以应用于工程线路控制网的布设、地铁、隧道施工等项目中。随着高精度测量仪器的普及，三维控制网整体平差有着更加广阔的应用前景。
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4  陈本富,岳建平,席光永.二次定权平差法在边角网平差中的应用[J].测绘通报,2009.10
5  姚吉利,韩保民,杨元喜.罗德里格矩阵在三维坐标转换严密解算中的应用[J]. 武汉大学学报.信息科学版,2006.12
6  陈珍,徐景田,孙华.基于全站仪观测数据的三维平差模型及其数据处理[J].测绘工程,2009.6