Alpha稳定分布下OFDM信号循环谱分析
该文在 稳定分布下结合共变理论、循环平稳理论和分数低阶矩（FLOM）等理论，提出基于FSM的低阶循环谱算法，并对连续及离散信号分别作理论分析与实验仿真，结果表明在稳定分布下二阶循环平稳信号的低阶循环谱结构和在高斯模型下的循环谱结构相同，但基于稳定分布所设计的算法具有良好的抗脉冲噪声性，同时基于稳定分布假定所设计的信号处理算法对脉冲噪声及噪声特性不确定情况具有较好的韧性,为复杂背景下的调制识别或者盲分离提供新的途径。
关键词：稳定分布;分数低阶矩;FSM;高斯模型
中文图书分类号：TN911.7
The realization of low order FSM method under stable distribution
He jiai Pei chengquan Liu huan
（School of Computer and Communication, Lanzhou Univ. of Tech 730050）
Abstract: In this paper,a new method of calculating low order spectrum based on FSM is proposed, which combine with covariation,cyclostationarity and FLOM. Finally, make a analysis and simulation for continuous and discrete signals.The result under stable distribution shows that the spectrum instruction of two order cyclostationary signals is the same as under Guassian model，however,the method constructed under stable distribution have good performance of anti-noise than under Guassian model.The algorithms based on assumption of A new way is given for modulation recognition and blind separation in complex environment. stable distribution is robust under uncertain characteristics of signals and noises.
Key words： stable distribution;FLOM; FSM;Guassian model
1. 引言
在传统的信号处理中，高斯信号模型占据主导的地位。在信号处理的诸多研究领域如信号特性分析、系统辨识、信号滤波与参数估计中，许多原理和方法都是基于高斯假定来进行描述的。在实际应用中所遇到的大量的非高斯信号或噪声具有显著的尖峰脉冲特性，由于这种脉冲特性，使得这类非高斯过程的统计特性显著偏离高斯分布，特别是其概率密度函数的衰减过程比高斯分布要慢，从而造成了显著的拖尾。如果采用高斯分布模型来描述这类过程，将会由于模型与信号噪声不能很好匹配而导致所设计的信号处理器显著退化，而 稳定分布则为这类过程提供了非常有用的理论工具。因此，通常用 稳定分布模型来描述这类具有显著尖峰脉冲状波形和较厚概率密度函数拖尾的随机信号。本文将FSM算法推广到稳定分布下，并对稳定分布下的FSM算法做验证与仿真给出了其实现的系统框图。为该类信号在脉冲噪声环境下的分离、识别和提取提供新的途径。
2.稳定分布理论
2.1共变系数的概念[1-4]
根据统计信号分析的二阶矩理论，两个随机变量的协方差的概念是十分重要的，然而，由于对称的稳定分布没有有限的方差，1978年Miller[1]提出了与方差具有相同意义的共变的概念。对于联合对称稳定分布的随机变量X和Y，满足，则X和Y的共变定义为：
(6)
式中S代表单位圆，为稳定分布随机向量（X,Y）的谱测度，对于实数过程符号表示如下的运算:
(7)
对于复数过程，符号 表示
(8)
2.2 分数低阶循环谱密度[2,3,5]
分数低阶统计量 (FLOM)理论是对稳定分布进行研究的有力工具，可以借助其来研究在脉冲噪声环境中的信号处理方法。设，，为实SaS分布随机过程，其特征指数为,位置参数为0，其传统的二阶自相关函数为：
（9）
若 是循环平稳信号即满足以下条件（是周期）
（10）
当对 所要分析的信号部分混有稳定分布的脉冲噪声时，其二阶统计矩不存在。故分数低阶周期平稳信号可用（11）式定义：
（11）
且有： ，。对以上相关函数做傅里叶级数展开：
(12)
其中 是循环频率。由于功率谱与自相关函数互为傅立叶变换对，仿此可定义分数低阶循环谱密度：
（13）
循环平稳是调制信号的重要特性，通过对信号的谱相关结构分析可以完成各种信号处理任务，如信号的盲检测[10]、调制分类、参数估计以及盲均衡等等[6-9].
3.低阶FSM算法实现
设 是二阶循环平稳过程，基于连续FSM算法[4]的循环谱有以下的表达式：
(14)
(15)
对以上的算法做离散后可得其相应的离散的FSM算法[12][13]：
(16)
其中为滑动窗口的离散傅氏变换即：
(17)
其中为数据衰减窗，为谱平滑宽度，为频率采样宽度，为时域取样宽度，为内总采样数，.当对 所要分析的信号部分混有稳定分布的脉冲噪声时，其二阶统计矩不存在。在稳定分布下相应的公式可用以下表示：
(18)
(19)
连续的情况下：
(20)
(21)
(22)
离散情况下：
(23)
其中有以下的表达式
(24)
以上的各个参数同高斯模型下一致。
4．实例分析与验证
以幅度调制信号为例分析低阶循环谱：
若为复信号
依共变的性质有以下的表达
故：
若为实信号
又因为 故，作以下变换：
令 故
因此，实数的情况可化为复数的形式，可得到同复数形式下相同的谱函数。
在离散情况下，，当是复信号， 是采样间隔，则
故
又有：
依共变的性质[11]有以下结论：
当信号是实数信号，对其做以下变换：
，其中
令 故
做变换以后再对其做运算取实部，由以上分析易得到相同的结论。
5.计算机仿真验证与应用
5.1计算机仿真验证
以AM调制信号做仿真，载波频率，采样频率为600KHz，码元速率为256，基带信号为单一的正弦函数，当在以上的AM信号中混合脉冲噪声和高斯噪声(SNR=5dB)时采用传统的二阶相关的分析方法有以下的仿真结果：
对以上混合噪声的AM信号做本文所采用的算法做仿真有以下结果（p=1）：
按照理论分析可得,在,的时候会出现最大的相关峰.图6,图7所示结果所示谱图在处有两个谱峰，在 处出现谱峰。图3、图4表明在稳定分布噪声下基于传统的方法计算的循环谱会影响谱结构，图6、图7和图3、图4对比说明基于稳定分布假设所设计的算法比在高斯假设下有较好的抗噪性能，该结果表明稳定分布下该算法的有效性与可靠性。
5.2 基于低阶循环谱的特征提取
通过以上的数学分析不难得到其他的调制信号在稳定分布下的循环谱的表达式，结合以上的仿真可选取以下的基于低阶循环谱的特征参数：
1）循环谱的幅值：
(25)
（26）
（27）
2）循环谱的幅值：
（28）
（29）
3）循环谱的幅值：
（30）
（31） 由以上理论分析知均为关于p的常数，构建起如下基于低阶循环谱的特征参数：
； （32）
通过分析，信号的特征参数理论如表1所示：
表1 不同调制信号的特征参数
| BPSK | QPSK/8PSK | MSK/OQPSK | |
| 0 | |||
| 0 |
6.总结
通过以上分析知，在Alpha稳定分布下通信信号的循环谱与高斯假设下有相同的循环谱结构，但是循环谱的幅值有所变化，主要取决于值的变化。当时，分数阶循环谱就转化为二阶循环谱。此外，基于非高斯假设下的循环平稳分析具有很好的抗噪性能。不同的通信信号有不同的循环结构，依据此结论，可以把循环频率或者谱结构作为识别不同的调制信号的一组参数，也可以将此理论应用到具有脉冲噪声盲源分离中，以循环频率或者构造的新的基于循环平稳的变量作为分离的特征参数。因此，研究稳定分布下信号的循环平稳性质对丰富信号处理理论具有重要意义。
参考文献
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